复健回顾。
0.引入
莫比乌斯反演确实是一种解决 $\gcd$ 相关数论问题的利器。
1.定义
$\mu$ 为莫比乌斯函数，定义为：
这样的定义看起来很奇怪，但实际上大有来头。注意到 $(-1)^k$ 这个系数，和我们的容斥原理中的很相似。实际上，莫比乌斯反演本质上就是容斥原理。
2.性质
2.1 求法
莫比乌斯函数为积性函数，即满足：对于 $\gcd(i,j)=1$，有 $f(ij)=f(i)f(j)$。由此我们可以通过线性筛 $\mathcal O(n)$ 求出。
2.2 重要性质
莫比乌斯反演的原理如下：
即：$\sum_{d\mid n}\mu(d)=\varepsilon(n)$，$\mu * 1 =\varepsilon$。
这本质上就是一个完完全全的容斥式子了，容易用容斥思想证明。
2.3 拓展
很神奇？看下面这一节就不会感觉到奇怪了）。
2.4 莫比乌斯变换
设 $f(n),g(n)$ 为两个数论函数。
如果有 $f(n)=\sum_{d\mid n}g(d)$，那么有 $g(n)=\sum_{d\mid n}\mu(d)f(\frac{n}{d})$。
这种形式下，数论函数 $f(n)$ 称为数论函数 $g(n)$ 的莫比乌斯变换，数论函数 $g(n)$ 称为数论函数 $f(n)$ 的莫比乌斯逆变换（反演）。
容易看出，数论函数 $g(n)$ 的莫比乌斯变换，就是将数论函数 $g(n)$ 与常数函数 $1$ 进行狄利克雷卷积。
本质上用的就是 2.2 重要性质！！！
3.用法
一种常见用法是 我们会用到这个式子： $\displaystyle [\gcd(i,j)=1]=\sum_{d\mid\gcd(i,j)}\mu(d)$。
具体做法很套路：
1.使用 $\displaystyle [\gcd(i,j)=1]=\sum_{d\mid\gcd(i,j)}\mu(d)$ 对 $[\gcd(i,j)=1]$ 进行替换。
2.将 $d$ 提到最前面，即直接枚举 $d$。
3.对后面结构进行化简，尽可能化成单变量等易于快速求和的方式（多次询问可能会用到整数分块）。